Ejercicios de polinomios:

1. Dados los polinomios:

P(x) = x4− 2x2− 6x − 1
Q(x) = x3− 6x2+ 4
R(x) = 2x4− 2x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =
P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
Q(x) + R(x) − P(x)=

2. Multiplicar:

(x4− 2x2+ 2) · (x2− 2x + 3) =
(3x2− 5x) · (2x3+ 4x2− x + 2) =
(2x2− 5x + 6) · (3x4− 5x3− 6x2+ 4x − 3) =

3. Dividir, las que se pueda por ruffini, las demás normal:

(x4− 2x3− 11x2+ 30x − 20) : (x2+ 3x − 2)
(x6+ 5x4+ 3x2− 2x) : (x2− x + 3)
(x3+ 2x + 70) : (x + 4)
(x5− 32) : (x − 2)

4. Resuelve:

(3x − 2) · (3x + 2) =
(x + 5) · (x − 5) =
(3x − 2) · (3x + 2) =
(3x − 5) · (3x − 5) =

5. Resuelve las siguientes identidades notables:

(2x − 5)2=
(3x − 2)2=
(x + 5)2=

11. Teorema del resto

Se aplica para obtener el resto de las divisiones de polinomios cuyo divisor se de forma (x - a).

Este teorema dice que el resto de la división es el valor numérico de dicho polinomio para el valor x = a

10. Regla de Ruffini.

Para explicar los pasos a seguir en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

(x⁴− 3x²+ 2 ) : (x − 3)

1-Si el polinomio no es completo lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2-Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3-Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.

4-Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5-Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6-Sumamos los dos coeficientes.

7-Repetimos el proceso anterior

Volvemos a repetir el proceso

Volvemos a repetir el proceso

8-El último número obtenido es el 56,ese es el resto.

9-El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x³+ 3 x²+ 6x +18

Otro ejemplo es este donde nos da de resto 0.

(x⁵− 32) : (x − 2)

C(x) = x⁴+ 2x³+ 4x²+ 8x + 16

Resto=0

9. División de polinomios.

1.  A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

2. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

 x⁵ : x² = x³

3.     Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

4.  Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 

2x⁴ : x² = 2 x²

5.  Procedemos igual que antes.                                                                     

5x³ : x² = 5 x

6. Volvemos a hacer las mismas operaciones.                                                       

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se

puede continuar dividiendo.                                                           

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.

8. Valor numérico.

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

-P(x) = 2x3+ 5x - 3 ; x = 1

-P(1) = 2 · 13+ 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

7. Igualdades notables.

Llamaremos igualdades notables a algunas identidades que son útiles en general para simplificar expresiones, acelerar cálculos, factorizar o desarrollar expresiones matemáticas. A continuación conoceremos algunas de estas identidades.

• El cuadrado de una suma:

Ejemplo:

• El cuadrado de una diferencia:

Ejemplo: 

• Diferencia de cuadrados:

Ejemplo:

6. Multiplicación de polinomios.

Multiplicación de un número por un polinomio

En estos casos tenemos un número (independiente) y un polinomio al que multiplica:el número, se multiplica por cada uno de los monomios que forman el polinomio:

una vez realizada la multiplicación damos por finalizada la operación

Multiplicación de un monomio por un polinomio

En este tipo de multiplicaciones tenemos un monomio multiplicando a un polinomio: 

El monomio (primer factor) se multiplica por cada uno de los monomios que forman el polinomio (segundo factor):

•  se multiplica todo lo que es lo mismo, es decir:
•   los coeficientes con los coeficientes
•  las x con las x, recordando que al multiplicarse se suman sus exponentes.

una vez realizada la multiplicación damos por finalizada la operación

Multiplicación de polinomios

En estas multiplicaciones poseemos dos polinomios:

Cada uno de los monomios del primer factor multiplica a todos los monomios del segundo:

Se suman los monomios del mismo grado (si los hay).

Después de realizar esta suma, damos por finalizada la operación.

5. Resta de polinomios.

Para restar polinomios basta con cambiar el signo de cada uno de los términos del sustraendo y luego sumar:
La mejor forma de explicar la resta de polinomios, en mi opinión, es con un ejemplo:

para empezar, tenemos dos polinomios:

Primer paso: cambiamos el signo de los términos que aparecen en el sustraendo (segundo paréntesis) ya que la resta es la suma del opuesto del sustraendo:

Segundo paso: ordenamos los términos, primero los de mayor exponente y por último los términos independientes:

Tercer paso: realizamos la operación entre los términos que podamos (aquellos con el mismo exponente, o los términos independientes entre ellos).

La resta de polinomios ya está terminada.

4. Opuesto de un polinomio.

Para hallar el opuesto de un polinomio solamente hay que cambiar el signo de cada uno de los monomios, los + por - y viceversa, ejemplo:

3. Suma de polinomios.

1.      Ordenamos los polinomios, si no lo están.

2.      Agrupamos los monomios del mismo grado.

3.      Sumamos los monomios semejantes.

2. Polinomios iguales.

Dos polinomios son iguales si:

• los dos polinomios tienen el mismo grado.
• los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

ejemplo:

P(x) = 2x³ + 5x – 3

Q(x) = 5x – 3 + 2x³

Estos son dos polinomios iguales

1. Polinomio. Grado. Coeficientes. Coeficiente principal. Término independiente.

En la imagen vemos reflejado a qué se refiere cada uno de los siguientes términos:

• Polinomio: expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones, pero nunca divisiones. Los exponentes solo pueden ser números naturales y el polinomio no puede tener un número infinito de términos.
• Término independiente: es aquel que se encuentra en un polinomio solo, es decir sin estar multiplicando a la x o a otra incógnita.
• Grado: es el exponente de mayor grado. Si un monomio de los que se encuentran formando el polinomio posee dos incógnitas, cada una con su exponente, estos se suman ya que estaríamos realizando una multiplicación de monomios.
• Coeficiente: número que multiplica a una variable.
• Coeficiente principal: es el mayor número que multiplica a una variable dentro de un polinomio.